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\hyphenation{mo-de-los}

\begin{document}

\section*{El problema de la estimaci\'on de la altura.}

La altm\'osfera de la Tierra es una capa de aire extremadamente fina que se
extiende desde su superficie hasta el borde del espacio definido a 100\,km de
altura.  La fuerza de la gravedad mantiene esta capa de aire pegada a la
superficie de nuestro planeta.

Dentro de la atm\'osfera ocurren fen\'omenos qu\'{i}micos, termodin\'amicos y de
din\'amica de fluidos muy complejos. Como la atm\'osfera no es uniforme, sus
propiedades cambian constantemente. A estos cambios los conocemos bajo los
nombres de tiempo y clima y es la meteorolog\'{i}a la que se encarga de
estudiarlos y construir modelos para poderlos predecir.

Las variaciones de las propiedades del aire se extienden hacia arriba desde la
superficie terrestre.
El Sol calienta la superficie de la Tierra. Parte de este calor calienta el
aire cercano a esta superficie. El aire calentado se mueve por la atm\'osfera
por convecci\'on y difusi\'on. Es por este motivo que el aire cercano a la
superficie est\'a m\'as caliente y su temperatura decrece con la altura.

La velocidad del sonido depende de la temperatura y tambi\'en
disminuye con la altitud. 

La presi\'on del aire est\'a relacionada con el peso de la columna de aire
sobre una determinada regi\'on. A medida que subimos en la atm\'osfera, la
columna de aire por encima nuestro es cada vez menor. Por lo tanto, la
presi\'on decrece con la altura.

La densidad del aire depende de la temperatura y de la presi\'on y tambi\'en
decrece con la altura.

Para poder hacer uso de todas estas relaciones en las diversas disciplinas
cient\'{i}ficas y t\'ecnicas relacionadas con la atm\'osfera, es necesario
definir modelos  matem\'aticos que permitan predecir con verosimilitud las
variaciones de sus propiedades.

Estos modelos se construyen a partir de medidas de las variables
atmosf\'ericas. Las medidas son obtenidas de diversas formas como por ejemplo
estaciones meteorol\'ogicas, globos sonda, etc. Estas medidas se procesan
adecuadamente y luego son aproximadas a curvas te\'oricas. Es as\'i como se
obtienen las ecuaciones que permiten modelar el comportamiento de la
altm\'osfera.

Existen en la actualidad modelos que contemplan diferentes
situaciones a saber:

\begin{itemize}
\item d\'{i}a promedio o estandard.
\item d\'{i}a caluroso.
\item d\'{i}a fr\'{i}o.
\item d\'{i}a tropical. 
\end{itemize}

Estos modelos se actualizan cada pocos a\~nos para incluir los \'ultimos datos
atmosf\'ericos medidos.

Los modelos que vamos a presentar, desarrollados en la d\'ecada del 60, asumen
que la presi\'on $\mathbf{p}$, expresada en kiloPascales (kPa), y la temperatura
$\mathbf{T}$, expresada en grados Celsius ($^{\circ}$C), cambian solamente con la altitud
$\mathbf{h}$ expresada en metros (m) seg\'un las siguientes ecuaciones
definidas para tres zonas de la atm\'osfera:

\begin{itemize}
\item Estrat\'osfera alta: por encima de los 25000\,m.

  \begin{gather*}
    \mathbf{T} = -131.21 + 0.00299 \times \mathbf{h} \\
    \mathbf{p} = 2.488 \times {\left( \frac{\mathbf{T} + 273.1}{216.6} \right)}^{-11.388}
  \end{gather*}

\item Estrat\'osfera baja: entre 11000\,m y 25000\,m.
  \begin{gather*}
    \mathbf{T}=-56.46 \\
    \mathbf{p}=22.65 \times e^{\left(1.73 - 0.000157 \times \mathbf{h}\right)}
  \end{gather*}
\item Trop\'osfera: menos de 11000\,m.
  \begin{gather}
    \mathbf{T}=15.04 - 0.00649 \times \mathbf{h} \label{temperatura} \\
    \mathbf{p} = 101.29 \times {\left( \frac{\mathbf{T} + 273.1}{288.08}
    \right)}^{5.256} \label{presion}
  \end{gather}
\end{itemize}

La zona de trabajo para nuestros vuelos corresponde a la \textbf{TROP\'OSFERA}
(por debajo de los 11000\,m).

Seg\'un las ecuaciones \ref{temperatura} y \ref{presion}, vemos que la relaci\'on entre
presi\'on $\mathbf{p}$ y altura $\mathbf{h}$ en la trop\'osfera es
exponencial.
\pagebreak

 El siguiente gr\'afico nos muestra esta relaci\'on:

\begin{center}
\scalebox{0.45}{\includegraphics{modelo_atmosfera.png}}
\end{center}

Nuestro problema consiste en estimar $\mathbf{h}$ a partir de la medida de
$\mathbf{p}$.

De las ecuaciones \ref{temperatura} y \ref{presion}, correspondientes a la trop\'osfera, podemos deducir el c\'alculo
de la altura en funci\'on de la presi\'on:

\begin{gather}
\mathbf{h} = \left( \frac{1}{0.00649}\right) \times 288.08 \times
\left(1-\sqrt[5.256]{\frac{\mathbf{p}}{101.29}}\right) \label{altura}
\end{gather}

Esto sucede en el mundo anal\'ogico que es continuo e infinito. Pero nuestro alt\'imetro
trabaja en el mundo digital que es discreto y finito.

El conversor an\'alogo/digital incorporado en el micro, tiene una resoluci\'on
de 10bits. Esto significa que es capaz de discretizar su rango de trabajo
(0\,V a 5\,V) en $2^{10}$ = 1024 niveles o cuentas.

Esto nos da una resoluci\'on de $0.004888$\,V/cuenta.

El sensor de presi\'on absoluta MPX5100, tiene un rango de trabajo entre
$0.2$\,V y $4.7$\,V. Por lo tanto la conexi\'on al conversor del
microcontrolador se puede hacer directamente sin ning\'un acondicionamiento
anal\'ogico. El tratamiento del ruido se hace por software mediante la
implementaci\'on de un filtro digital recursivo.

El rango de trabajo en presi\'on va desde $115$\,kPa a $15$\,kPa lo cual nos
da una resoluci\'on de $22.22$\,kPa/V.

La relaci\'on que existe entre la presi\'on y el voltaje entregado por el
sensor es lineal seg\'un la siguiente funci\'on de transferencia:

\begin{center}
\scalebox{0.6}{\includegraphics{funcion_sensor.png}}
\end{center}

El microprocesador que controla el funcionamiento del alt\'{i}metro solamente
puede realizar operaciones aritm\'eticas muy sencillas como sumar, restar y
dividir/multiplicar por 2. Adem\'as estas operaciones se realizan sobre bytes.
Con un byte solamente es posible representar n\'umeros que van desde 0 a 255.
Estas son las herramientas de c\'alculo disponibles para resolver este
problema. Sumado a esto tenemos que agregar el problema de disponer de muy
poca memoria de datos (64 bytes de RAM y 128 bytes de EEPROM) y de programa
(1024 palabras).

Todas estas limitaciones nos llevan a tener que resolver dos problemas:
\begin{enumerate}
\item Un modelo de representaci\'on de n\'umeros adecuado al problema.
\item Un algoritmo para poder obtener la estimaci\'on de la altura en
  funci\'on de la presi\'on seg\'un la ecuaci\'on \ref{altura}.
\end{enumerate}

El modelo de datos se soluciona representando a los n\'umeros usando
m\'ultiples bytes. Es nuestra responsabilidad manejar adecuadamente esta
representaci\'on interna de n\'uneros decimales con coma fija.

Para el segundo problema se decidi\'o dividir la curva exponencial en 16
intervalos y aproximar cada uno de ellos a la mejor recta posible. Una tabla
guarda en memoria las pendientes y ordenadas en el origen de cada una de esas
rectas que fueron calculadas previamente. Seg\'un el valor en cuentas de la
presi\'on medida, se elije la recta adecuada y se calcula la altura. La
ventaja de este c\'alculo es que lo que se tiene que calcular es una funci\'on
del tipo $y=ax+b$ con lo cual el el problema se reduce al desarrollo de una
rutina de multiplicaci\'on adecuada al modelo de datos elegido.

\end{document}